imagesuravnenie-ellipsa-formula-thumb.jpg

Эллипс и его каноническое уравнение

Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром эллипса. Это значит, что фокусы эллипса будут «разъезжаться» по оси абсцисс к боковым вершинам. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

Только «иксы» и «игреки» в целых неотрицательных степенях. Если , то уравнение упрощается до , и если коэффициенты одновременно не равны нулю, то это в точности общее уравнение «плоской» прямой, которая представляет собой линию первого порядка. Чтобы определить порядок линии, нужно перебрать все слагаемые её уравнения и у каждого из них найти сумму степеней входящих переменных.

В том случае, если добавить одно или несколько подходящих слагаемых, которые содержат , то речь уже зайдёт о линии 4-го порядка, и т.д. Однако вернёмся к общему уравнению и вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола , уравнение которой легко привести к общему виду , и гипербола с эквивалентным уравнением . Однако не всё так гладко…. Это общепринятый стандартный вид уравнения, когда в считанные секунды становится ясно, какой геометрический объект оно определяет.

Эллипс и его каноническое уравнение

Например, в пункте №7 уравнение задаёт пару прямых, параллельных оси , и возникает вопрос: а где же уравнение , определяющее прямые , параллельные оси ординат? Таким образом, существует девять и только девять различных видов линий 2-го порядка, но на практике наиболее часто встречаются эллипс, гипербола и парабола. Да, вот взять его и просто начертить.

В данном случае :Отрезок называют большой осью эллипса;отрезок – малой осью;число называют большой полуосью эллипса; число – малой полуосью. По этой причине нам вряд ли удастся аккуратно начертить эллипс, зная одни вершины. Ещё куда ни шло, если эллипс небольшой, например, с полуосями . Как вариант, можно уменьшить масштаб и, соответственно, размеры чертежа.

Далее уравнение распадается на две функции: – определяет верхнюю дугу эллипса; – определяет нижнюю дугу эллипса. Любой эллипс симметричен относительно координатных осей, а также относительно начала координат. В результате должен получиться вполне достойный эллипс. Эллипс – это частный случай овала. Слово «овал» не следует понимать в обывательском смысле («ребёнок нарисовал овал» и т.п.). Это математический термин, имеющий развёрнутую формулировку.

Представьте, что синяя точка «ездит» по эллипсу. На определении эллипса основан ещё один способ его вычерчивания. Это будут фокусы . К торчащим шляпкам гвоздей привяжите зелёную нитку и до упора оттяните её карандашом. Гриф карандаша окажется в некоторой точке , которая принадлежит эллипсу. В приведённом примере я изобразил «готовенькие» точки фокуса, и сейчас мы научимся добывать их из недр геометрии.

Эллипс: определение, свойства, построение

Повторюсь, что – это РАССТОЯНИЕ от каждого из фокусов до центра (который в общем случае не обязан располагаться именно в начале координат). Иными словами, эллипс можно перенести в другое место и значение останется неизменным, в то время как фокусы, естественно, поменяют свои координаты. Выясним, как форма эллипса зависит от его эксцентриситета. Для этого зафиксируем левую и правую вершины рассматриваемого эллипса, то есть, значение большой полуоси будет оставаться постоянным.

Фокальное свойство эллипса

Это возможно только в том случае, если . Что это значит? Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета эллипса к единице, тем эллипс более продолговат. Теперь смоделируем противоположный процесс: фокусы эллипса пошли навстречу друг другу, приближаясь к центру. Заметьте, что определение эллипса остаётся полностью корректным: фокусы совпали , и сумма длин совпавших отрезков для каждой точки окружности – есть величина постоянная.

Отрезки F_1M и F_2M, соединяющие произвольную точку M эллипса с его фокусами, называются фокальными радиусами точки M. Отношение e=\frac{c}{a} называется эксцентриситетом эллипса. Существует два подхода к построению эллипса – геометрический и алгебраический. Чтобы быстро представить, как выглядит тот или иной эллипс достаточно посмотреть на значения «а» и «бэ» его канонического уравнения. Мысленно поместите точку «эм» в правую вершину эллипса, тогда: , что и требовалось проверить.

Смотри также